Giới thiệu Tính cỡ mẫu cho Hồi quy Logistic

Trong các nghiên cứu mà biến phụ thuộc là nhị phân (ví dụ: có bệnh/không bệnh, đạt/không đạt), hồi quy logistic được sử dụng để mô hình hóa xác suất xảy ra của sự kiện. Tính cỡ mẫu phù hợp cho hồi quy logistic giúp đảm bảo kết quả có độ tin cậy thống kê (power) và mô hình ước lượng ổn định.

Có hai phương pháp phổ biến (và một quy tắc kinh nghiệm):

• Phương pháp xấp xỉ Hsieh et al. (1989) (Dựa trên công thức)
• Phân tích công suất qua mô phỏng (Simulation-based Power Analysis)
• Quy tắc kinh nghiệm (Rule of Thumb)

1. Phương pháp Xấp xỉ Hsieh et al. (1989)

Phương pháp này cung cấp một công thức xấp xỉ cho cỡ mẫu cần thiết để phát hiện một hệ số hồi quy $\beta_1$ khác 0 trong mô hình hồi quy logistic đơn biến:

$$\text{logit}(p) = \beta_0 + \beta_1 X$$

Trong đó:

• $p$: xác suất xảy ra sự kiện (outcome = 1)
• $X$: biến độc lập (có thể là liên tục hoặc nhị phân)
• $\beta_1$: hệ số hồi quy cần kiểm định

Công thức xấp xỉ của Hsieh

Công thức sẽ khác nhau tùy thuộc vào biến độc lập $X$ là nhị phân hay liên tục.

Trường hợp 1: Biến độc lập $X$ là nhị phân (Binary)

Áp dụng khi $X$ chỉ có hai giá trị (ví dụ: có/không, nhóm can thiệp/nhóm chứng).

$$N = \frac{(Z_{1-\alpha/2} + Z_{1-\beta})^2} {p_0 (1 - p_0) (\ln(OR))^2 \, [P(X=1)(1 - P(X=1))]}$$

Trong đó:

• $Z_{1-\alpha/2}$: giá trị Z cho mức ý nghĩa $\alpha$ (thường là 1.96 khi $\alpha = 0.05$)
• $Z_{1-\beta}$: giá trị Z cho công suất mong muốn (ví dụ 0.84 khi power = 0.8)
• $p_0$: xác suất xảy ra biến phụ thuộc khi $X=0$ (nhóm cơ sở/chứng)
• $OR$: tỷ số odds (odds ratio) mong đợi giữa nhóm $X=1$ và $X=0$
• $P(X=1)$: tỷ lệ mẫu có $X=1$ (ví dụ: 0.5 nếu chia đều 2 nhóm)

Ví dụ minh họa (X nhị phân)

Giả sử một nghiên cứu so sánh 2 nhóm ($P(X=1) = 0.5$):

• $\alpha = 0.05$ (hai phía), power = 0.8
• $p_0 = 0.2$ (tỷ lệ bệnh ở nhóm chứng)
• $OR = 2.0$ (mong muốn phát hiện OR gấp 2 lần ở nhóm can thiệp)

Khi đó:

$$N = \frac{(1.96 + 0.84)^2}{0.2(1-0.2)(\ln 2)^2(0.5)(1-0.5)} \approx 197$$

Vậy, cần khoảng 197 quan sát (khoảng 99 người ở mỗi nhóm).

Trường hợp 2: Biến độc lập $X$ là liên tục (Continuous)

Áp dụng khi $X$ là một biến liên tục (ví dụ: tuổi, huyết áp, điểm số).

$$N = \frac{(Z_{1-\alpha/2} + Z_{1-\beta})^2} {p_0 (1 - p_0) (\beta_1)^2 \, \sigma_X^2}$$

Trong đó:

• $Z_{1-\alpha/2}$, $Z_{1-\beta}$, và $p_0$ được định nghĩa như trên.
• $\beta_1$: là hệ số hồi quy (log-odds ratio) mong đợi cho mỗi đơn vị tăng của $X$. (Lưu ý: $\beta_1 = \ln(OR)$ cho mỗi 1 đơn vị $X$ tăng lên).
• $\sigma_X^2$: là phương sai (variance) của biến $X$.

2. Phân tích Công suất qua Mô phỏng

Khi mô hình phức tạp (nhiều biến, tương tác hoặc phân phối phi chuẩn), phương pháp mô phỏng là lựa chọn đáng tin cậy nhất. Ý tưởng là:

1. Giả định các giá trị thật của $\beta_0$, $\beta_1$, ... và phân phối của các biến $X$.
2. Tạo dữ liệu giả lập cho $N$ quan sát.
3. Chạy mô hình logistic và ghi nhận p-value của $\beta_1$.
4. Lặp lại bước 2-3 nhiều lần (ví dụ 1000 lần) và đếm tỷ lệ p-value < $\alpha$. Tỷ lệ này chính là công suất (power) thống kê.

Sau đó điều chỉnh $N$ cho đến khi công suất đạt mức mong muốn (ví dụ 0.8).

3. Quy tắc Kinh nghiệm (Rule of Thumb)

Nếu không có thông tin chi tiết về $OR$ hay $p_0$, có thể dùng quy tắc kinh nghiệm "10 sự kiện trên mỗi biến" (10 Events Per Variable - EPV):

• Peduzzi et al. (1996): Cần ít nhất 10 sự kiện (event) cho mỗi biến độc lập (mỗi tham số $\beta$) trong mô hình.

$$N \ge \frac{10 \times m}{p_{event}}$$

Trong đó:

• $m$: số biến độc lập trong mô hình.
• $p_{event}$: tỷ lệ xảy ra sự kiện hiếm gặp hơn trong mẫu (tức là $\min(p, 1-p)$).

Ví dụ: Nếu bạn có 5 biến độc lập ($m=5$) và tỷ lệ bệnh trong mẫu là 20% ($p=0.2$), thì $p_{event} = 0.2$. Cỡ mẫu cần là: $N \ge \frac{10 \times 5}{0.2} = 250$.

---

Kết luận: Khi có đủ thông tin (odds ratio, baseline risk, phương sai của X), nên dùng phương pháp Hsieh hoặc phân tích mô phỏng. Nếu không, quy tắc “10 sự kiện mỗi biến” là lựa chọn an toàn cho thiết kế ban đầu.